草稿：弹琴之余解构乐理—音律与音程的伪公理化表述

音的协和性

选取两种人耳可以轻松分辨出频率不同的声音，在人耳误差容许范围内（即人耳不能察觉其变化），可以将这两种声音取近似至两者之间比例最简明，然后考察该音对的协和性。下面我将声音的协和性规律归纳为数学表述：

先将两种声音的频率之间的比例化简，得到一个既约分数，该分数的分子和分母的积的与2互质的最大因数（以下将此值称为Q）越小，则两种声音越容易共鸣，听感越协和。

注：虽然频率相近的声音人耳分别听分辨不出来，但是如果同时响起，会有拍音现象，这个以后在讨论。

依照这个规律，我们可以使用根音的谐波来生成与之较为协和的音。

根音与它的的2的幂次倍频音是完全协和的，几乎混同。为在协和中寻求差异性，使用3倍频（或三分频）来生成新的音，再用2倍的混同原理将新音放缩至1倍（本音）至2倍（混同音）的区间内，即三分损益法。

其余不能被2整除的倍（分）频音中与根音协和性最好的是5倍（分）频，纯律即使用5倍频结合三分损益法的基础构造音阶。

纯率频率关系:

依据这个规律，8/7倍根音，7/4倍根音这种与根音的协和性明明比纯律中的D音（C音的9/8倍频）B音（C音的15/8倍频）要好，为什么它们没有采用七倍频去生成，而是宁可采用9倍频和15倍频呢？

这是因为一个音阶系统是一个整体，音符之间需要考虑的不只是各自与根音的关联性，各基本音之间的联系也需要考虑，虽然D和B与根音C的关系稍远，但9倍频和15倍频都是在3倍频的基础上生成的，因此它们与根音最先生成的五度音协和性好，互相之间也有不弱的联系。具体来讲就是G/D=4/3，Q值为3；B/G=5/4，Q值为5，协和性都相对不错。而B/D=5/3，Q值为15，虽然不甚协和，但也与E-F之间关系相当，比G-A之间还好一些。而最不和谐的，即F-B，B/F=45/32，Q值为45，很不和谐，但也仅此一对。

这样看来，D音和B音在整个音阶序列中分布的疏落有致，亲近的关系、中等的关系、疏远的关系都兼顾到了，既加强了整个音阶序列的联系，也带来了更丰富的色彩。如果剔除D和B用8/7倍根音和7/4倍根音代替，虽然它们加强了与根音的关系，但站在其它基本音的角度看它们却是孤立的，造成了音阶系统的失衡。假如如此实施，我们在追求旋律或者和弦的和谐时，就只能以根音为核心联系它的衍生音，音乐的变化性会被极大的削弱。

那么为什么不使用16/15倍根音呢？除了关于协和性的分析外，还有一个重要因素是16/15与1的差别太小，音阶靠的太近不仅使音阶分布不协调，还过分考验人耳的分辨力。这种频率十分接近但又不完全相同的声音，人耳是无法直接分辨的，但当两个声音同时响起时，会引起一种叫做拍音的现象。

音程的描述

音程的命名由七声音阶的自然调式中产生，自然七声音阶使用根音之3倍频放缩音以及5倍频放缩音来填充根音和其倍频音之间的区间，从根音至倍频音，一共八个基本音。两个基本音之间的音程定义为：从较低的音至较高的音之间的基本音（包括始终）的总数即为音程的度数。

音程同时还具有色彩，因为相邻的音之间距离并不是均匀的，所以同样度数的音程不一定代表相同的距离。后来，七声音阶为了使音程关系简洁化，并且使得音阶在五度相生12次后完美回归，采取了十二平均律的规约近似。从根音到倍频音的区间之内以等比数列的形式均匀的分成了12个频率点，所有相邻频率点之间的距离（频率比值）是同一个固定值，这个距离被称作一个半音。把三分损益（五度相生）法生成的自然七声音阶近似到这12个频点中相应最接近的频点上，这样，就可以简洁的表示音阶之间的音程。以自然小调的音阶排列为例，ABCDEFGA这样递次升高的基本音序列中，除了B-C、E-F之间距离为1个半音外，其余相邻音之间的距离都是2个半音（称为一个全音）。那么我们可以看到，任何两个音之间的音程的度数仍然可以数音级来计算，但实际上相同的度数包含的半音数是不一定的，所以在这些相同度数但半音数不同的音程上我们要加入色彩的修饰来表明它的实际半音数。例如，A到D之间为四度，5个半音数，这个音程在对应的自然音阶生成体系内，两个音的频率比例为4:3，根据前文的方法计算，Q值为3，那么这两个音的共鸣是非常好的，十分协和，所以我们称之为纯四度；而F到下一个八度中的B之间也是四度，但比纯四度多一个半音，我们称之为增四度。

其他采用十二平均律的七声音阶调式的基本音之间的音程，都可以用相同的思路描述，即数级音确定度数，数半音数确定色彩。但如果描述的是非基本音之间的音程，则根据实际的半音数使用对应的最常见度数说法，比如7个半音数就描述为纯五度。如果是非七声音阶体系内的音程关系，一般可以把音对应到七声音阶进而采用七声音阶的方式描述音程。

注：本笔记内所有“半音”用词均指音程单位，此词不可拆字，即“2个半音”的正确断句为“2个|半音”而非“2个半|音”。